copyright7. Cas bidimensionnel :

 retour       Plan        suite

 

7.1. Description :            haut       bas

On prendra pour pupille P1 un disque de centre O et de rayon R1 et pour pupille P un disque coplanaire de même centre et de rayon R0 :

Disques complémentaires

Les pupilles P1 et P2 sont bien complémentaires pour la pupille P .

On posera r = R0 / R1 ( r >> 1 a priori) .

 

7.2. Diffraction :            haut       bas

Pour une ouverture circulaire éclairée orthogonalement par une onde plane monochromatique, la diffraction de Fraunhofer fait intervenir la fonction de Bessel d’ordre 1 .

On obtient alors dans la direction faisant l’angle a avec la normale, les amplitudes complexes suivantes :

·  pour la pupille P1 (disque de rayon R1 ) :    avec

·  pour la pupille P (disque de rayon R0 = r R1 ) :  

·  pour la pupille P2 (complémentaire des précédentes) :  

D’où les intensités correspondantes :

·  pour la pupille P1 :  

·  pour la pupille P2 :  

 

7.3. Discussion qualitative :            haut       bas

On sait qu’une fonction de Bessel se rapproche rapidement de son comportement asymptotique pour u grand selon :

d’ordre de grandeur typique

On constate alors que les deux termes qui interviennent dans a2 sont d’ordre de grandeur :

·   provenant de a1 ;

·   provenant de a ;

Comme r >> 1 , le terme prépondérant n’est pas celui espéré !

On obtiendra donc :  I1 ¹  I2 ... et le théorème de Babinet ne s’appliquera pas.

 

7.4. Observation :            haut       bas

L’œil ne pouvant détecter les variations rapides du terme de diffraction causé par le grand disque de rayon R0 , il ne percevra qu’une moyenne locale :

avec  , d’où et

On obtient ainsi :  

Le premier terme est grand mais à variation lente devant le terme suivant correspondant à l’intensité I2 du petit disque :

Le contraste sera donc très faible mais on prévoit qu’en dehors de l’image géométrique, l’intensité pour la pupille complémentaire P2 sera modulée par la diffraction du petit disque P1 .

Remarque : on peut améliorer la visibilité de la figure de diffraction en remplaçant le disque unique de rayon R1 par une multitude de petits disques identiques disposés aléatoirement sur la surface transparente du grand disque (poudre de lycopode) .

 

7.5. Simulations :            haut       bas

Ces figures de diffraction des pupilles P1 et P2 ont été obtenues pour r = 10 par simulation avec Maple V 4 :

Pupille P1 : cliquer pour le négatif

Pupille P2 : cliquer pour le négatif

Intensité de P1 Intensité de P2

Remarque : pour améliorer la visibilité des franges circulaires, on a volontairement surexposé de manière identique les deux  figures de diffraction.

On peut aussi visualiser les négatifs des images précédentes ...

haut .


Menu Menu     retourretour: Conséquence      sommaire Sommaire        suite suite: Conclusion