Théorème de Babinet

Le but de ce texte est de discuter un théorème d’optique physique très connu dont la démonstration classique est admise, en général, sans aucune discussion.

En particulier, ce théorème constitue la justification théorique de l'exemple d'activité expérimentale proposée par le nouveau programme de seconde : "Comment déterminer l'ordre de grandeur de l'épaisseur d'un cheveu ? "

L’argumentation suivie s’appuiera sur des exemples pris dans des ouvrages classiques et universellement reconnus.

1. Enoncé classique :       

cf. Bruhat , Optique (Masson) , p. 246

Les figures de diffraction au voisinage d’un foyer produites par deux écrans complémentaires sont identiques, sauf au voisinage immédiat de l’image géométrique.

2. Exercice : "Pupilles complémentaires"                   

cf. Lecardonnel et Tilloy , Optique (Bréal) , p. 131

2.1. Enoncé :

Soient deux pupilles coplanaires P₁ et P₂ caractérisées par leurs facteurs de transmission t₁(x,y) et t₂(x,y) , supposées pour l’instant d’extension infinie et telles que t₁(x,y) + t₂(x,y) = 1 :

Ces deux pupilles P₁ et P₂ sont dites complémentaires.

Ces deux pupilles sont éclairées en incidence normale par une onde plane cohérente monochromatique.

Il est alors très facile de justifier que l’intensité diffractée à l’infini dans une direction ou en un point du plan focal d’une lentille est la même pour chaque pupille à condition d’éviter la direction de l’onde incidente.

2.2. Démonstration classique :                   

On s’intéresse au rayonnement diffracté dans la direction du vecteur unitaire .

On va utiliser la complémentarité des deux pupilles en appelant et les amplitudes lumineuses correspondantes et et les intensités associées.

La superposition des deux pupilles complémentaires est identique à une ouverture non limitée et, donc, ne présentant pas de phénomène de diffraction.

On en déduit que l’intensité correspondante est nulle en dehors de la direction de l’onde incidente et que dans les mêmes conditions.

Il est alors immédiat que :

Les intensités sont les mêmes pour toute direction distincte de celle de l’onde incidente.

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